Polinomnál tagonként deriválj: az xⁿ deriváltja n·xⁿ⁻¹, a konstansé nulla. Szorzatnál, hányadosnál és összetett függvénynél külön szabályt kell használni. A végeredményt az értelmezési tartománnyal együtt add meg.
Hatványszabály és tagonkénti deriválás
Ahol a hatványfüggvény és a deriváltja értelmezett, (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Az összeg tagonként deriválható, a konstans szorzó megmarad. Például f(x) = 4x³ − 5x² + 2x − 7 esetén f′(x) = 12x² − 10x + 2.
A konstans −7 deriváltja nulla. Az x = 1 helyen f′(1) = 12 − 10 + 2 = 4, tehát az érintő meredeksége 4. Itt a derivált függvényét és annak egy helyen vett értékét külön számoltuk ki.
Szorzatszabály részletes példával
Ha f(x) = u(x)·v(x), akkor f′ = u′v + uv′. Legyen f(x) = (x² + 1)(3x − 2). Ekkor u′ = 2x és v′ = 3, ezért:
f′(x) = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 9x² − 4x + 3.
Ellenőrzésként előbb ki is szorozhatod az eredeti függvényt: 3x³ − 2x² + 3x − 2. Ennek tagonkénti deriválása ugyanazt adja. A két tényező deriváltjának egyszerű szorzata hibás eredmény lenne.
Hányadosszabály és kizárt pontok
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v², ahol v ≠ 0. A g(x) = (x² + 1)/(x − 1) függvénynél az x = 1 kizárt. Számolás:
g′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 1)]/(x − 1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)².
A kivonás előtti zárójelet őrizd meg, amíg fel nem bontod. Így kisebb eséllyel lesz a −1 helyett +1 a számlálóban. A nevező négyzetre emelését sem lehet elhagyni.
Láncszabály: a belső derivált is kell
Összetett függvénynél (F(g(x)))′ = F′(g(x))·g′(x). Például h(x) = (2x² + 3)⁴: a külső művelet a negyedik hatvány, a belső függvény 2x² + 3. Ezért h′(x) = 4(2x² + 3)³·4x = 16x(2x² + 3)³.
Gyökös és logaritmikus kifejezésnél előbb az értelmezési tartományt rögzítsd. Például a ln(x) deriváltja 1/x, de a valós logaritmus itt csak x > 0 esetén értelmezett.
Gyakorlófeladatok megoldással
p(x)=3x⁴−2x+8→p′(x)=12x³−2.q(x)=(x+2)(x²−3)→q′(x)=3x²+4x−3.r(x)=(5x−1)³→r′(x)=15(5x−1)².
Először takard le a megoldást, nevezd meg a szabályt, és írd ki a köztes lépéseket. Az egyszerűsítést csak a helyes deriválási művelet után végezd el.
Gyakori kérdések
Mi a derivált és a derivált adott pontbeli értéke közötti különbség?
A deriváltfüggvény minden megfelelő x helyhez rendel meredekséget. Az adott pontbeli értéket ebből behelyettesítéssel kapod meg.
A szorzat deriváltja a deriváltak szorzata?
Nem. A helyes szabály u′v + uv′. A láncszabályban szereplő szorzás más szerkezetre, összetett függvényre vonatkozik.